圧縮性流体 ファノー流れ ～理論編～

本記事では、圧縮性流体が断熱条件かつ摩擦のある一定断面積の配管を流れる際の挙動、すなわち「ファノー流れ（Fanno flow）」について、数式の背景と物理的意味を重視して解説します。

単なる公式の提示ではなく、「なぜ摩擦によってマッハ数が変化するのか」「長すぎる配管では何が起きるのか」といった、設計上の勘所を理解することを目的とします。

目次

  1. ファノー流れとは何か
    • 定義と前提条件
    • 実務で問題になるケース
  2. なぜ摩擦で流れが変わるのか？
    • 摩擦とエントロピーの関係
    • 流速（マッハ数）の変化の方向
  3. ファノー線（h-s線図）の理解
    • 状態変化の軌跡
    • 極値としての音速（M=1）
  4. ファノー流れの基本式
    • 支配方程式
    • 管長とマッハ数の関係式
  5. チョーク現象と最大管長
    • 「配管が長すぎると流れない」理由
  6. まとめ

1. ファノー流れとは何か

定義

ファノー流れとは、以下の条件を満たす圧縮性流体の流れを指します。

  • 断熱（Adiabatic）： 外部との熱の出入りがない。
  • 一定断面積（Constant Area）： 配管の太さが途中で変わらない。
  • 定常・一次元（Steady, 1D）： 流れが時間的に安定し、一方向にのみ変化する。
  • 摩擦がある（Friction）： 管壁との摩擦損失を考慮する。

実務で問題になるケース

  • 圧縮性を考慮する必要がある(M>0.3程度)空圧チューブ
  • 長距離のガス輸送パイプライン
  • 安全弁の排出管のサイジング

前回の記事で解説した「絞りの流れ（等エントロピー流れ）」は面積変化が主役でしたが、ファノー流れでは**「摩擦」が流れを支配する主役**となります。

2. なぜ摩擦で流れが変わるのか？

摩擦とエントロピーの関係

断熱条件下において、摩擦は「粘性による散逸」を引き起こし、エントロピーを増大させます。熱力学の第二法則により、断熱系でエントロピーが減少することはないため、流れは必ずエントロピーが増大する方向へ進みます。

流速（マッハ数）の変化

摩擦の影響は、入口の状態（亜音速か超音速か）によって真逆の挙動を示します。

  • 亜音速流（M < 1）の場合：摩擦によって圧力が下がり、密度が低下します。連続の式（\(\rho v = const\)）を満たすため、**速度は上昇（加速）**し、マッハ数 \(M=1\) に近づきます。
  • 超音速流（M > 1）の場合：摩擦によって流速がブレーキをかけられ、**速度は低下（減速）**します。これもマッハ数 \(M=1\) に近づく方向の変化です。

つまり、**「摩擦は常に流れを音速（M=1）へ近づけようとする」**という物理的性質があります。

3. ファノー線（h-s線図）の理解

ファノー流れの状態変化を、比エンタルピー(\(h\))と比エントロピー(\(s\))のグラフ（h-s線図）に描くと、特徴的な「つ」の字型の曲線が現れます。これをファノー線と呼びます。

  • 上側の枝： 亜音速領域。右（エントロピー増大）へ進むほど加速し、マッハ数が増加します。
  • 下側の枝： 超音速領域。右（エントロピー増大）へ進むほど減速し、マッハ数が減少します。
  • 頂点（エントロピー最大点）： ここが マッハ数 M = 1（音速） です。

エントロピー増大の法則により、状態は常に右側へ移動します。一度 \(M=1\) に達すると、それ以上摩擦によってエントロピーを増やすことができない（曲線の先がない）ため、状態変化はここでストップします。

4. ファノー流れの基本式

理想気体を仮定した場合の、摩擦損失を考慮した支配方程式は以下の通りです。

摩擦係数を含む関係式

管の直径を \(D\)、摩擦係数を \(f\)、管長を \(L\) とすると、無次元化された管長パラメータは次のようにマッハ数 \(M\) の関数として導かれます。

$$\frac{4fL_{max}}{D} = \frac{1-M^2}{\gamma M^2} + \frac{\gamma+1}{2\gamma} \ln \left( \frac{(\gamma+1)M^2}{2 + (\gamma-1)M^2} \right)$$

ここで、\(L_{max}\) はそのマッハ数から音速（M=1）に達するまでの「最大可能管長」を意味します。

5. チョーク現象と最大管長

ファノー流れにおける**チョーク（Choking）**とは、配管の出口でマッハ数が 1 に達した状態を指します。

「配管が長すぎると流れない」理由

ある入口条件（圧力・温度・マッハ数）に対し、物理的に許容される最大管長 \(L_{max}\) が決まっています。

もし設計上の管長 \(L\) が \(L_{max}\) よりも長い場合、流体はそのままの状態では流れることができません。

このとき、現実には何が起きるでしょうか？

  • 入口流量が減少する： 上流側の圧力が一定であれば、流量（マッハ数）を自ら下げて、新しい \(L_{max}\) が実際の管長 \(L\) と一致するように調整されます。

これが、実務で「配管を長くしすぎると、計算上の流量が確保できなくなる」原因です。

6. まとめ

  • ファノー流れは、断熱・一定断面・摩擦ありの流れ。
  • 摩擦の役割は、亜音速を加速させ、超音速を減速させる（常に M=1 へ向かわせる）。
  • ファノー線の頂点は \(M=1\) であり、そこがエントロピーの最大点。
  • チョーク現象により、配管の長さには流量に応じた「限界」が存在する。

設計実務においては、単に「圧損計算」をするだけでなく、**マッハ数が 1 に近づいていないか（チョークのリスクはないか）**を常に監視することが重要です。

関連記事

コメント

タイトルとURLをコピーしました