本記事では、具体的な配管条件を用いて、摩擦のある管内を流れる空気の流量を計算するプロセスを解説します。理論をどう数値に落とし込むか、その手順を追っていきましょう。
計算条件の整理
今回は、空気タンクから細長い配管を通って大気へ放出されるケースを想定します。
- 流体： 空気（比熱比 \(\gamma = 1.4\,\), 気体定数 \(R = 287 \, \mathrm{[J/(kg \cdot K)]}\)
- 配管寸法： 長さ \(L = 1 \, \mathrm{[m]}\), 直径 \(D = 5 \,\mathrm{[mm]} = 0.005 \, \mathrm{[m]}\)
- 摩擦： ファニング摩擦係数 \(f = 0.004\)
- 入口全圧： \(P_0 = 401325 \, \mathrm{[Pa \cdot abs]}\)
- 入口全温： \(T_0 = 293.15 \, \mathrm{[K]}\) (20℃)
- 出口条件： 背圧（大気圧） \(P_b = 101325 \, \mathrm{[Pa \cdot abs]}\)
※入口圧力は全圧で、入口温度は全温度です。入口のマッハ数(流速)によって、静圧や静温度は下がります。
STEP 1：無次元管長パラメータの算出
まず、配管の幾何形状と摩擦から決まる「ファノーパラメータ」を計算します。これが、流れがどれだけ「音速（チョーク）」に近いかを決める指標になります。
$$\frac{4fL}{D} = \frac{4 \times 0.004 \times 1}{0.005} = 3.2$$
STEP 2：入口マッハ数 \(M_1\) の特定
次に、出口でチョーク（\(M=1\)）すると仮定して、入口のマッハ数 \(M_1\) を求めます。以下のファノー関数の値が \(3.2\) と一致する \(M_1\) を探します。
$$\frac{4fL_{max}}{D} = \frac{1-M^2}{\gamma M^2} + \frac{\gamma+1}{2\gamma} \ln \left( \frac{(\gamma+1)M^2}{2 + (\gamma-1)M^2} \right) \, = \, 3.2$$
この方程式が成り立つ\(M_1\)を数値計算（収束計算）で解くと、以下の値が得られます。
$$M_1 \approx 0.36$$
Excelのゴールシーク機能を使うと便利です。また、圧縮性流体の本には\(\frac{4fL}{D}\)の値から入口マッハ数を求められる表が付属されていることもあります。
STEP 3：チョーク判定の確認
出口で本当にチョークしているかを確認します。入口マッハ数 \(M_1 = 0.36\) のときの、管内の静圧 \(P_1\) と音速状態の圧力 \(P^*\) を求めます。
まず、入口全圧 \(P_0\) から入口静圧 \(P_1\) を等エントロピー変化として求めます。
$$P_1 = P_0 \left( 1 + \frac{\gamma-1}{2} M_1^2 \right)^{-\frac{\gamma}{\gamma-1}} = 401325 \times (1 + 0.2 \times 0.36^2)^{-3.5} \approx 366943 \, \mathrm{[Pa \cdot abs]}$$
次に、出口圧力（\(M=1\) での圧力 \(P^*\)）を求めます。
$$\frac{P_1}{P^*} = \frac{1}{M_1} \sqrt{\frac{\gamma+1}{2+(\gamma-1)M_1^2}} = \frac{1}{0.36} \sqrt{\frac{2.4}{2+0.4 \times 0.36^2}} \approx 3.00$$
$$P^* = \frac{366943}{3.00} \approx 122188 \, \mathrm{[Pa \cdot abs]}$$
判定： \(P^* (122 \, \mathrm{[kPa \cdot abs]}) > P_b (101 \, \mathrm{[kPa \cdot abs]})\) であるため、出口では周囲の大気圧よりも高い圧力で**チョーク（音速に到達）**しています。したがって、計算結果は妥当です。
STEP 4：質量流量 \(\dot{m}\) の算出
入口の状態量（密度と流速）を計算し、質量流量を求めます。
入口温度 \(T_1\)：
$$T_1 = \frac{T_0}{1 + \frac{\gamma-1}{2} M_1^2} = \frac{293.15}{1.0259} \approx 285.7 \, \mathrm{[K]}$$
入口密度 \(\rho_1\)：
$$\rho_1 = \frac{P_1}{R T_1} = \frac{366943}{287 \times 285.7} \approx 4.475 \, \mathrm{[kg/m^3]}$$
入口流速 \(v_1\)：
$$v_1 = M_1 \times a = M_1 \sqrt{\gamma R T_1} = 0.36 \sqrt{1.4 \times 287 \times 285.7} \approx 122.0 \, \mathrm{[m/s]}$$
※ここで\( a \) は音速\(\mathrm{[m/s]}\)
質量流量 \(\dot{m}\)（断面積 \(A = \pi \times 0.005^2 / 4 \approx 1.9635 \times 10^{-5} \, \mathrm{[m^2]}\)）
$$\dot{m} = \rho_1 A v_1 = 4.468 \times 1.9635 \times 10^{-5} \times 122.0 \approx 0.0107 \, \mathrm{[kg/s]}$$
STEP 5：20℃大気圧下での体積流量
実務でよく使われる20[℃]大気圧の体積流量の単位に換算します。
20[℃]、大気圧(101325 [Pa・abs]) における空気の密度 \(\rho_{std}\) は：
$$\rho_{std} = \frac{101325}{287 \times 293.15} \approx 1.204 \, \mathrm{[kg/m^3]}$$
体積流量 \(Q\)：
$$Q = \frac{\dot{m}}{\rho_{std}} = \frac{0.0107}{1.204} \approx 0.00889 \, \mathrm{[m^3/s]}$$
これを [L/min] 単位に直すと：
$$Q = 0.00889 \times 60 \times 1000 \approx 533.4 \, \mathrm{[L/min]}$$
まとめ
今回の計算結果は以下の通りです。
- 入口マッハ数： \(M_1\,=\,0.36\)
- 出口圧力（チョーク）： 122.1 [kPa・abs] ( >101.325[kPa・abs] 大気圧以上)
- 質量流量： 0.0107 [kg/s]
- 体積流量（20℃大気圧換算）： 約 533 [L/min]
このように、ファノー流れでは「配管の長さ」が入口マッハ数を拘束し、それが全体の流量を決定します。もし管長 \(L\) をさらに長くすれば、\(M_1\) は小さくなり、流量も減少することになります。
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