圧縮性流体 絞りの亜音速流れ ～実用計算編～

前回（理論編）では、亜音速流れの定義と、チョーク流れとの違いについて解説しました。

本記事では、具体的な数値を用いた計算手順を解説します。「ある圧力条件のとき、φ0.7mmの穴からどれくらいの空気が流れるのか？」といった実務的な問いに対し、どのようにアプローチすべきかをステップ・バイ・ステップで見ていきましょう。

目次
計算モデルの設定
Step 1: 圧力の単位変換と温度の確認
Step 2: チョーク判定（最も重要なステップ）
Step 3: 流量計算
よくある計算ミスと対策
まとめ

計算モデルの設定

今回は、以下の一般的なエア漏れやブローの条件を想定して計算を行います。

流体: 空気（比熱比 $\gamma = 1.4$、気体定数 $R = 287 \,\mathrm{[J/(kg \cdot K])}$）
絞り形状: φ0.7 [mm] のオリフィス穴
流量係数 $C_d$: 0.7（一般的なオリフィスとして仮定）
一次側圧力 (供給圧): 0.3 [MPaG] (ゲージ圧)
一次側温度: 20 [℃]
二次側圧力 (背圧): 0.25 [MPaG] (ゲージ圧) ※大気開放ではなく、少し圧力が残っている配管への合流などを想定

この条件で、質量流量 $\dot{m}$ を求めます。

Step 1: 圧力の単位変換と温度の確認

流体計算、特に圧縮性流体の計算において**絶対圧（Absolute Pressure）と絶対温度（Kelvin）**への変換は必須です。これを忘れると計算結果が大きく狂います。

圧力の変換

大気圧を標準的に $0.101325 \,\mathrm{[MPa \cdot abs]}$ とします。

一次圧
$P_0\, : 0.3 \,\mathrm{[MPaG]} + 0.101325 \,\mathrm{[MPa \cdot abs]} = 0.401325 \,\mathrm{[MPa \cdot abs]} = \mathbf{401,325 \,\mathrm{[Pa \cdot abs]}}$
二次圧
$P_b\, : 0.25 \,\mathrm{[MPaG]} + 0.101325 \,\mathrm{[MPa \cdot abs]} = 0.351325 \,\mathrm{[MPa \cdot abs]} = \mathbf{351,325 \,\mathrm{[Pa \cdot abs]}}$

温度の変換

温度 $T_0\,:\,20 + 273.15 = \mathbf{293.15 \,\mathrm{[K]}}$

面積の計算

断面積 $A_e : 直径 d = 0.7 \,\mathrm{[mm]} = 0.0007 \,\mathrm{[m]}$$A_e = \frac{\pi}{4} \times (0.0007)^2 = \mathbf{3.848 \times 10^{-7} \,\mathrm{[m^2]}}$

Step 2: チョーク判定（最も重要なステップ）

いきなり亜音速の式に入れてはいけません。まず「本当に亜音速なのか？」を確認する必要があります。

空気（$\gamma=1.4$）の臨界圧力比は 0.528 です。

実際の圧力比 $P_b / P_0$ を計算して比較します。

$$\text{圧力比} = \frac{P_b}{P_0} = \frac{351,325}{401,325} = \mathbf{0.875}$$

判定:

$$0.875 > 0.528$$

圧力比が臨界値より大きいため、流れは音速に達していません。したがって、これは亜音速流れです。

※もしここが0.528以下なら、チョーク流れの式を使うことになります。

臨界圧力比の解説やチョーク流れの場合はこちらのページを参考にしてください。圧縮性流体絞りのチョーク流れ～理論編～

Step 3: 流量計算

亜音速流れであることが確定したので、理論編で紹介した式を使用します。

$$\dot{m} = C_d A_e P_0 \sqrt{ \frac{2\gamma}{(\gamma-1)R T_0} \left[ \left(\frac{P_b}{P_0}\right)^{\frac{2}{\gamma}} – \left(\frac{P_b}{P_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma}} \right] }$$

少し複雑なので、項を分解して計算するのがミスのないコツです。

1. 圧力比の項（括弧の中身）

圧力比 $x = P_b/P_0 = 0.875$ とします。

第1項: $x^{2/\gamma} = 0.875^{(2/1.4)} = 0.875^{1.4286} \approx 0.8269$
第2項: $x^{(\gamma+1)/\gamma} = 0.875^{(2.4/1.4)} = 0.875^{1.7143} \approx 0.7960$
差分: $0.8269\, -\, 0.7960 = \mathbf{0.0309}$

2. 係数の項（ルートの中の前半）

$$\frac{2\gamma}{(\gamma-1)R T_0} = \frac{2 \times 1.4}{0.4 \times 287 \times 293.15} \approx \mathbf{8.320 \times 10^{-5}}$$

3. ルート全体の計算

$$\sqrt{8.320 \times 10^{-5} \times 0.0308} \approx \mathbf{0.001601}$$

4. 最終的な質量流量 $\dot{m}$

$$\dot{m} = 0.7 \times (3.848 \times 10^{-7}) \times 401,325 \times 0.001601$$

$$\dot{m} \approx \mathbf{0.0001731 \,\mathrm{[kg/s]}}$$

参考：体積流量への換算

空気流量の場合、質量流量[kg/s]の他、体積流量[L/min]で示すことも多いです。20℃での体積流量を Q [L/min]とすると、

$$ Q = \frac{\dot{m}^* × 60 × 1000}{ρ} = 8.61 \mathrm{[L/min]} $$

となります。ここで、 $ ρ $ は20℃大気圧下での空気密度で、1.206 $\mathrm{[kg/m^3]}$ です。

よくある計算ミスと対策

実務でよく見かけるミスをまとめました。

1. ゲージ圧のまま計算してしまう

圧力は絶対圧の使用が必須です。

もし今回の計算をゲージ圧比 ($0.25/0.3 = 0.833$) で行うと、結果がズレてしまいます。

2. ルートの中身がマイナスになる

Excelなどで計算式を組んだ際、ルート内がエラーになることがあります。

これは $P_b > P_0$ （逆流条件）になっているか、圧力比の項の計算順序が間違っている場合が多いです。必ず $P_b \le P_0$ であることを確認しましょう。

3. 流量係数 $C_d$ の見積もり

$C_d$ は穴の形状に大きく依存します。

滑らかなノズル: $0.90 \sim 0.98$
鋭いエッジのオリフィス: $0.6 \sim 0.8$この値の選定だけで答えが大きくことなるため、流量を大きく見積もりたいのか、小さく見積もりたいのかを考慮して値を決めましょう。
より正確性を求める場合は、実験結果を利用するか、CFD(数値流体解析)の結果を使用すると良いです。

まとめ

亜音速流れの計算フローは以下の通りです。

単位を揃える: 圧力は絶対圧[Pa・abs]、温度は絶対温度 [K]。
チョーク判定を行う: $P_b/P_0$ が 0.528 より大きいか確認する。
流量計算: チョークしていない場合は、圧力差に応じて流量が決まる。

「差圧が小さいから少ししかながれないだろう」と高をくくっていると、圧縮性流体の密度効果により、予想外の大流量になっていることがあります。設計やトラブルシューティングの際は、必ず一度計算してみることをお勧めします。

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