圧縮性流体 絞りの亜音速流れ ～理論編～

本記事では、圧縮性流体のノズルやオリフィスなどの絞りにおける**亜音速流れ（subsonic flow）**について、数式の背景と物理的意味を重視して解説します。

「チョーク流れ」に至る前の段階で、流体がどのような挙動を示すのか、なぜ一般的な「非圧縮性流体（水など）」の計算と異なるのかを理解することを目的とします。

目次
亜音速流れとは何か
1. 定義
2. 物理的な特徴
なぜ「圧縮性」を考える必要があるのか？
マッハ数と流体の状態変化
1. 圧力と温度の関係式
亜音速流れの質量流量式
1. 式の挙動と物理的意味
実務上の注意と非圧縮性近似の限界
まとめ

亜音速流れとは何か

定義

亜音速流れとは、流路内のあらゆる場所において**流速が音速未満（マッハ数 $M < 1$ ）**である状態の流れを指します。

この領域では、流体は「圧縮性（密度が変化する性質）」を持ちながらも、まだ音速の壁には到達していないため、直感的に理解しやすい挙動と、圧縮性特有の挙動が混在しています。

物理的な特徴

亜音速流れの最大の特徴は、下流の情報（圧力変化）が上流に伝わることです。

チョーク流れの場合: 流速＝音速となるため、下流の圧力変動が上流へ遡れません。
亜音速流れの場合: 音速の方が流速より速いため、下流で圧力を下げると、その「圧力低下」という情報（波）が上流へ伝わり、上流側からさらに多くの流体が押し寄せます。

つまり、亜音速領域では、背圧（二次圧）を下げれば下げるほど、質量流量は増加します。

なぜ「圧縮性」を考える必要があるのか？

水のような液体（非圧縮性流体）では、ベルヌーイの定理により、圧力エネルギーと速度エネルギーの交換だけで現象を説明できます。密度 $\rho$ は一定です。

しかし、気体（圧縮性流体）の場合、圧力が下がると気体が膨張し、密度 $\rho$ が低下します。

流路が狭まると流速が上がる（加速）。
流速が上がると圧力が下がる。
圧力が下がると密度が下がる（膨張）。

この「密度の低下」を考慮しないと、実際の流量よりも過大な見積もりをしてしまったり、配管径の選定を誤ったりする原因になります。

マッハ数と流体の状態変化

圧縮性流体の挙動を支配するのはマッハ数 $M$ です。等エントロピー流れ（断熱・可逆）を仮定すると、静圧 $P$ や静温度 $T$ は、停止状態（タンク内など）の圧力 $P_0$、温度 $T_0$ に対して以下の関係で変化します。

圧力と温度の関係式

$$\frac{P_0}{P} = \left( 1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2 \right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$$

$$\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2$$

$P, T$：流れの中の静圧、静温度
$P_0, T_0$：全圧（よどみ点圧力）、全温度
$\gamma$：比熱比（空気なら 1.4）
$M$：マッハ数

この式からわかることは、流速（マッハ数）が上がれば上がるほど、静圧と温度は急激に低下するということです。この熱力学的な変化が流量計算のベースになります。

亜音速流れの質量流量式

チョークしていない状態（亜音速）での質量流量は、以下の式で計算されます。

$$\dot{m} = C_d A_e P_0 \sqrt{ \frac{2\gamma}{(\gamma-1)R T_0} \left[ \left(\frac{P_b}{P_0}\right)^{\frac{2}{\gamma}} – \left(\frac{P_b}{P_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma}} \right] }$$

$\dot{m}$：質量流量 $\mathrm{[kg/s]}$
$C_d$：流量係数 $\mathrm{[-]}$
$A_e$：絞り部の流路面積 $\mathrm{[m^2]}$
$P_0$：一次圧 $\mathrm{[Pa \cdot abs]}$
$P_b$：背圧（二次圧） $\mathrm{[Pa \cdot abs]}$ ※ここでは絞り部の静圧と等しいと仮定
$R$：気体定数 $\mathrm{[J/(kg \cdot K)]}$
$T_0$：一次側温度 $\mathrm{[K]}$
$\gamma$：比熱比 $\mathrm{[-]}$

式の挙動と物理的意味

この式は一見複雑ですが、$\left[ (\dots)^{\frac{2}{\gamma}} – (\dots)^{\frac{\gamma+1}{\gamma}} \right]$ の部分に注目すると意味が見えてきます。

$P_0 = P_b$ のとき: 括弧内が $ 1 – 1 = 0$ となり、流量はゼロになります。（差圧がないので流れない）
$ P_b$ が下がると: 差圧が生まれ、流量 $\dot{m}$ は増加します。
臨界圧力比に達すると: 括弧内の値が最大値となり、それ以降は式が適用できなくなります（チョーク流れの式へ移行）。

実務上の注意と非圧縮性近似の限界

1. どこまで「非圧縮（水と同じ式）」で計算して良いか？

実務では簡易的に $\sqrt{\Delta P}$ に比例する非圧縮性流体の式を使うことがありますが、気体の場合、マッハ数 $M \approx 0.3$ を超えると誤差が無視できなくなります。

$M < 0.3$: 密度の変化は5%以下。簡易式でもOK。
$M > 0.3$: 密度の低下が効いてくるため、上記式などの圧縮性流体計算が必要。

2. 流量係数 $C_d$ の扱い

亜音速領域では、レイノルズ数やマッハ数の変化により流量係数 $C_d$ も微妙に変化しますが、多くの実用計算では一定値（オリフィスなら0.6～0.7程度、ノズルなら0.90～0.98程度）として扱われることが多いです。高精度が求められる場合はメーカーの特性曲線を参照してください。

3. 設計での考え方

チョークとの境界: 設計圧力比 $P_b/P_0$ が臨界圧力比（空気で約0.528）より大きい場合は、本記事の亜音速の式を使います。
制御性: 亜音速領域では、背圧（下流の圧力）をバルブ等で操作することで、流量をコントロール可能です。これはチョーク流れ（背圧操作が効かない）との大きな違いです。

まとめ

亜音速流れは、チョーク流れの手前の状態であり、以下の特徴を持ちます。

流速は音速未満である。
下流の圧力情報を上流が受け取るため、背圧を下げれば流量は増える。
ただし、密度の低下（膨張）を伴うため、単なる差圧の平方根（$\sqrt{\Delta P}$）とは異なるカーブで流量が増加する。

流量計算を行う際は、まず圧力比 $P_b/P_0$ を確認し、それが臨界圧力比より大きい（亜音速）か、小さい（チョーク）かを判定してから、適切な式を選択することが重要です。

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